Monica Jhoselin Parraguirre Rosas

COBAEP- Plante-21

Trabajo:La tortuga de Aquiles 

LA PARADOJA DE ZENÓN

   (Aquiles y la tortuga)

Según la leyenda, Aquiles, héroe de la Guerra de Troya, era invulnerable, debido a que su madre, para hacerle invencible lo llevó a la laguna Estigia, morada de Medusa, y lo sumergió en sus aguas sujeto por el talón. Como su talón fue lo único que no se mojó, éste era su único punto débil... el Talón de Aquiles.

Famoso por sus grandes cualidades físicas, Aquiles fue elegido por Zenón de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) como protagonista de la famosa Paradoja (cuyo enunciado hemos adaptado para facilitar la solución):

Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m. en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m. a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m., la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0'1 m. Y así indefinidamente.

Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Es evidente que esta paradoja, bajo una apariencia de razonamiento correcto, esconde algún fallo... todos sabemos que Aquiles debe alcanzar a la tortuga. Pero se tardó 24 siglos en desvelar por completo, gracias a la Teoría de Límites, cuál era el fallo: la suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.

Lo aclararemos estudiando como sucesiones las distancias recorridas, la ventaja de la tortuga y los tiempos empleados:

	Posición de Aquiles  (m.)	Posición de  la tortuga  (m.)	Ventaja  de la  tortuga  (m.)	Tiempo empleado  (seg.)
Salida 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4ª etapa ... Límites	0 100 100 + 10 = 110 100 + 10 + 1 = 111 100 + 10 + 1 + 0,1 = 111,1 ... 111,111...	100 100 + 10 = 110 100 + 10 + 1 = 111 100 + 10 + 1 + 0,1 = 111,1 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 = 111,11 ... 111,111...	100 10 1 0,1 0,01 ... 0	0 10 10 + 1 = 11 10 + 1 + 0,1 = 11,1 10 + 1 + 0,1 + 0,01 = 11,11 ... 11,111...

En consecuencia: Aquiles alcanza a la tortuga a los 111,111... m de carrera y emplea en ello 11,111... segundos (números decimales periódicos puros).

Otro ejemplo.- Si todavía te cuesta admitir que la suma de infinitos números puede ser un número finito, piensa en una hoja de papel (1). Le quitamos la mitad (1/2). A su vez, a la mitad restante le quitamos su mitad (1/4). Al trozo que queda (1/4), también le quitamos su mitad (1/8). Y así sucesivamente, de forma indefinida. Como siempre queda algo de papel, siempre se puede continuar cortando. 

Piensa ahora en la suma de los infinitos trozos de papel que vamos quitando:

1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...

 ¿Cuál es su suma?

 ¡Evidentemente toda la hoja; es decir 1!

 1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1

Ambos casos son ejemplos concretos de la Suma de todos los términos de una progresión geométrica con razón r ( | r | < 1).

Dada una progresión geométrica:         a  ,  a·r  ,  a·r²  ,  a·r³  ,  a·r⁴  ...  a·rⁿ

La suma de los (n + 1) primeros términos:  S = a +  a·r +  a·r² +  a·r³ +  a·r⁴ + ...+  a·rⁿ

Se expresa mediante la fórmula:

Cuando  | r | < 1 ,  la potencia  r^{n+ 1} resulta ser un infinitésimo; es decir, para valores de n cada vez mayores, su límite es 0 .

lim  r^{n+ 1}=0         cuando  n à 4

En consecuencia, se puede calcular la suma de los infinitos términos de la progresión:

 S ₄ = lim S = a / (1 – r)        cuando  n à 4

Ejemplos.-

En la paradoja de Zenón:   a = 100   ,   r = 1/10  

Aquiles alcanza a la tortuga después de recorrer: S ₄ = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m

Al partir la hoja de papel:   a = ½   ,   r = ½

Todos los trozos suman: S ₄ = ½  / (1 – ½ ) = 1     

Colegio de Bachilleres del Estado de PueblaVania Itzel Lemus Garcia 5°D Vespertino

Tortuga de Zenon

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías ideadas por Zenón de Elea. Dedicado principalmente al problema del continuo y a las relaciones entre especio, tiempo y movimiento.

Aquiles y la tortuga

Aquiles , llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los aquoes, quien mató a Hector decide salir a competir en una carrera contra una tortuga Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

La situación planteada contradice cualquier experiencia cotidiana: todo el mundo sabe que un corredor veloz alcanzará a uno lento aunque le dé ventaja.

Si supusiéramos (para simplificar) que Aquiles es solo diez veces más veloz que la tortuga y que la ventaja otorgada a esta última es de 10 metros, entonces, según argumenta Zenón, cuando Aquiles haya recorrido estos primeros 10 metros iniciales la tortuga ya estará más lejos (estará un metro más allá, es decir habrá recorrido 11 metros) y cuando Aquiles haya recorrido este nuevo metro para alcanzarla, la tortuga estará nuevamente más lejos (10 centímetros más). Aquiles continúa pero al llegar allí, la tortuga estará otro centímetro más lejos (es decir en los 11 metros y 11 centímetros) así sucesivamente.

El concepto que subyace a la paradoja es el de serie, más precisamente, la existencia de las series convergentes.

Así, en la interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era desconocido en época de Zenón, se puede demostrar que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga,⁶ sobre la base de la demostración del matemático escocés James Gregory (1638-1675) acerca de que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños (hasta el infinito más pequeños), y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.

Colegio de Bachilleres del Estado de PueblaVania Itzel Lemus Garcia5°D Vespertino

Fractales

Es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.

El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX.

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales; y además de que es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. 

Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).

Paisajes fractales à Este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.

Fractales de pinturas à Se utilizan para realizar el proceso de calcomanía.

Conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”.

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:

Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc.(0, 1=02+1, 2=12+1, 5=22+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no.

la filosofía de zenon y la tortuga

Nombre: MONICA TREJO RUIZ

TAREA: LA FILOSOFÍA DE ZENON Y LA TORTUGA

Este griego filósofo pretendía demostrar que todo lo que percibimos en el mundo es ilusorio, y que cosas como el movimiento eran simplemente ilusiones y no realidades. Lo cual no deja de ser un punto de vista original, incluso para un griego filósofo. Para demostrarlo ideó una serie de paradojas que “mostraban” que el movimiento no existía, que todas las distancias son infinitas, que no existe el tiempo… La paradoja de Alquiles y la tortuga consiste en una imaginaria carrera. Uno de los contrincantes (Alquiles) era el más hábil de los guerreros aqueos, y vencedor de mil batallas. Era un superhombre casi invencible, y apodado “el de los pies ligeros”. 

Rápidamente Aquiles atraviesa ese estadio de ventaja hasta llegar al punto en el que estaba la tortuga. Ésta, de un insospechado espíritu competitivo, se había desplazado unos cuantos pasos hacia adelante. Así que Aquiles, atónito (no era muy listo) pero confiado en su enorme poderío físico, decide cruzar ese puñado de pasos, hasta llegar de nuevo a donde estaba la tortuga. De nuevo ella ¡se ha vuelto a mover! Se ve que el quelónido no tiene buen perder y Aquiles de nuevo, con renovados bríos, recorre velozmente esos centímetros que le separan del punto donde estaba la tortuga, 

Conclusion: esto es un claro ejemplo de que es posible comprobar que como la tortuga a pesar de que es un animal lento se mueve de lugar por lo tanto zenon nunca alcanzaría la tortuga ya que para alcanzarla la tortuga tendria que estar estatica en un punto 

KARLA DALEL DOMINGUEZ

 Paradoja de Aquiles corriendo tras la tortuga

 Es una de las más clásicas y famosas paradojas de Zenón. Este griego filósofo pretendía demostrar que todo lo que percibimos en el mundo es ilusorio, y que cosas como el movimiento eran simplemente ilusiones y no realidades. Lo cual no deja de ser un punto de vista original, incluso para un griego filósofo. Para demostrarlo ideó una serie de paradojas que “mostraban” que el movimiento no existía, que todas las distancias son infinitas, que no existe el tiempo… La paradoja de Aquiles y la tortuga consiste en una imaginaria carrera. Uno de los contrincantes (Aquiles) era el más hábil de los guerreros aqueos, y vencedor de mil batallas. Era un superhombre casi invencible, y apodado “el de los pies ligeros”. El otro contrincante (la tortuga) es un ser por todos conocido, de proverbial lentitud y bien cachazudo. Dado que Aquiles es mucho más rápido que la tortuga (supuestamente) antes de empezar decide darle un estadio de ventaja, y tras dárselo, se da el pistoletazo de salida (o se suena un cuerno, ya que en esos tiempos no existían las pistolas, afortunadamente para muchos).

Rápidamente Aquiles atraviesa ese estadio de ventaja hasta llegar al punto en el que estaba la tortuga. Ésta, de un insospechado espíritu competitivo, se había desplazado unos cuantos pasos hacia adelante. Así que Aquiles, atónito (no era muy listo) pero confiado en su enorme poderío físico, decide cruzar ese puñado de pasos, hasta llegar de nuevo a donde estaba la tortuga. De nuevo ella ¡se ha vuelto a mover! Se ve que el quelónido no tiene buen perder y Aquiles de nuevo, con renovados bríos, recorre velozmente esos centímetros que le separan del punto donde estaba la tortuga, la cual de nuevo… ¿se lo imaginan? ¡Efectivamente! La encontramos un poquito más adelante…

Y argumentaba Zenón con mucha razón que así podíamos seguir hasta el infinito, y que Aquiles jamás alcanzará a la tortuga. Y por tanto cuando vemos a un Aquiles alcanzando a una tortuga (¿quién no ve todos los días uno o dos?) es simplemente una ilusión. ¿En dónde se equivoca Zenón? En realidad no podemos decir que se equivoque (¿vivimos en Matrix? no se sabe), pero lo que está claro es que su argumento no demuestra nada: una suma de infinitos términos puede dar un resultado finito. Pero esto no se puso sobre el papel hasta que Leibniz, que era un tipo realmente listo, inventó el cálculo infinitesimal.

Así que si Aquiles recorre 1 estadio en un minuto y la tortuga 1/10 de estadio en el mismo tiempo, Aquiles recorrerá 1+ (¡caramba, se ha movido!) 1/10 + (¡otra vez!¡le ha dado tiempo a moverse!) 1/100+ (¡again! bueno, en griego) 1/1000 …etc: 1+1/10+1/100+1/1000+…= ¿cuánto? Desde luego esta suma no da una distancia infinita que requiere infinito tiempo recorrer, sino una distancia concreta: 1,111111111… estadios. Y eso Aquiles se lo hace con la gorra en un minuto y pico (1,111…), la tortuga no tiene nada que hacer.

CONCLUSION: PARA MI FUE UN CLARO EJEMPLO DE LAS FUNCIONES AL INFINITO 

MELANIE ALMAZAN RODRIGUEZ No 2 5to D

LA PARADOJA DE ZENÓN    (Aquiles y la tortuga) Según la leyenda, Aquiles, héroe de la Guerra de Troya, era invulnerable, debido a que su madre, para hacerle invencible lo llevó a la laguna Estigia, morada de Medusa, y lo sumergió en sus aguas sujeto por el talón. Como su talón fue lo único que no se mojó, éste era su único punto débil... el Talón de Aquiles. Famoso por sus grandes cualidades físicas, Aquiles fue elegido por Zenón de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) como protagonista de la famosa Paradoja (cuyo enunciado hemos adaptado para facilitar la solución): Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m. en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m. a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m., la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0'1 m. Y así indefinidamente. Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.    Es evidente que esta paradoja, bajo una apariencia de razonamiento correcto, esconde algún fallo... todos sabemos que Aquiles debe alcanzar a la tortuga. Pero se tardó 24 siglos en desvelar por completo, gracias a la Teoría de Límites, cuál era el fallo: la suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta. Lo aclararemos estudiando como sucesiones las distancias recorridas, la ventaja de la tortuga y los tiempos empleados:   Posición de Aquiles  (m.)   Posición de  la tortuga  (m.)   Ventaja  de la  tortuga  (m.)   Tiempo empleado  (seg.) Salida 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4ª etapa ... Límites 0 100 100 + 10 = 110 100 + 10 + 1 = 111 100 + 10 + 1 + 0,1 = 111,1 ... 111,111... 100 100 + 10 = 110 100 + 10 + 1 = 111 100 + 10 + 1 + 0,1 = 111,1 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 = 111,11 ... 111,111...   100 10 1 0,1 0,01 ... 0   0 10 10 + 1 = 11 10 + 1 + 0,1 = 11,1 10 + 1 + 0,1 + 0,01 = 11,11 ... 11,111...   En consecuencia: Aquiles alcanza a la tortuga a los 111,111... m de carrera y emplea en ello 11,111... segundos (números decimales periódicos puros). Otro ejemplo.- Si todavía te cuesta admitir que la suma de infinitos números puede ser un número finito, piensa en una hoja de papel (1). Le quitamos la mitad (1/2). A su vez, a la mitad restante le quitamos su mitad (1/4). Al trozo que queda (1/4), también le quitamos su mitad (1/8). Y así sucesivamente, de forma indefinida. Como siempre queda algo de papel, siempre se puede continuar cortando.  Piensa ahora en la suma de los infinitos trozos de papel que vamos quitando: 1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...  ¿Cuál es su suma?  ¡Evidentemente toda la hoja; es decir 1!  1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1 Ambos casos son ejemplos concretos de la Suma de todos los términos de una progresión geométrica con razón r ( | r | < 1). Dada una progresión geométrica:          a  ,  a·r  ,  a·r2  ,  a·r3  ,  a·r4  ...  a·rn La suma de los (n + 1) primeros términos:  S = a +  a·r +  a·r2 +  a·r3 +  a·r4 + ...+  a·rn Se expresa mediante la fórmula:   Cuando  | r | < 1 ,  la potencia  rn+ 1 resulta ser un infinitésimo; es decir, para valores de n cada vez mayores, su límite es 0 . lim  rn+ 1=0         cuando  n à 4 En consecuencia, se puede calcular la suma de los infinitos términos de la progresión:  S 4 = lim S = a / (1 – r)        cuando  n à 4 Ejemplos.-   En la paradoja de Zenón:   a = 100   ,   r = 1/10   Aquiles alcanza a la tortuga después de recorrer: S 4 = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m Al partir la hoja de papel:   a = ½   ,   r = ½ Todos los trozos suman: S 4 = ½  / (1 – ½ ) = 1		Zenón de Elea Brad Pitt fue Aquiles en la película Troya
		José María Sorando Muzás jmsorando@ono.com

Raymundo Lopez Morales 5° "D" T/V

Aquiles y la tortuga

Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

Aunque parezca lógico, es una paradoja porque la situación planteada contradice cualquier experiencia cotidiana: todo el mundo sabe que un corredor veloz alcanzará a uno lento aunque le dé ventaja.

Si supusiéramos (para simplificar) que Aquiles es solo diez veces más veloz que la tortuga y que la ventaja otorgada a esta última es de 10 metros, entonces, según argumenta Zenón, cuando Aquiles haya recorrido estos primeros 10 metros iniciales la tortuga ya estará más lejos (estará un metro más allá, es decir habrá recorrido 11 metros) y cuando Aquiles haya recorrido este nuevo metro para alcanzarla, la tortuga estará nuevamente más lejos (10 centímetros más). Aquiles continúa pero al llegar allí, la tortuga estará otro centímetro más lejos (es decir en los 11 metros y 11 centímetros) así sucesivamente.

Desde el punto de vista matemático, el concepto que subyace a la paradoja es el de serie, más precisamente, la existencia de las series convergentes. Lo que aplica a la situación que plantea la paradoja es que la suma de infinitos términos puede ser finita. Si se suman los segmentos recorridos por Aquiles se obtiene una serie geométrica convergente:

Así, en la interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era desconocido en época de Zenón, se puede demostrar que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga,⁶ sobre la base de la demostración del matemático escocés James Gregory (1638-1675) acerca de que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños (hasta el infinito más pequeños), y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.

Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un intervalo finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga.

También se puede encarar el problema evitando el cálculo infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides —el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon— no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe.

Existe además otra variante para describir la paradoja, según la cual Aquiles nunca podría partir siquiera. Así planteda la aporía, se sostiene que Aquiles, antes de que pueda recorrer el tramo que dio en ventaja a la tortuga tendría que haber ya recorrido la mitad de ese trecho y antes de él, haber superado ya un cuarto, previamente un octavo y antes de eso un dieciseisavo y así sucesivamente, de modo que nunca podría ponerse en marcha.⁵

Lo que sí es seguro que la solución no puede salir de una argumentación distinta a la original, sino del estudio del enunciado original, lugar en el que se encuentra el error, mal entendido, o paradoja.

La dicotomía

Esta paradoja, conocida como argumento o paradoja de la dicotomía, es una variante de la anterior.

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol. Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.

Por eso, la paradoja de la piedra también puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.

Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:

La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:

Suma = 

En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es  y «r» es la razón de incremento (producto), que es . Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:

Suma = 

Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.

La paradoja de la flecha

En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible. Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo.

Otra perspectiva es acudir, directamente, a la definición de velocidad, cuya idea esencial es la de cambio: se cambia de espacio en un tiempo determinado. Así que, por definición, un cuerpo que se mueve, sin alterar el volumen de espacio que ocupa en cada momento, cambia de espacio, es decir, ocupa la misma cantidad, volumen, y forma de espacio, pero en un lugar distinto, al momento siguiente. El movimiento sería la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (móvil) en la sucesión de los distintos momentos que componen la magnitud de tiempo considerada. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.