Diana Laura Bravo Hernandez
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Turno Vespertino
No.L. 4
La paradoja de zenon
Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías ideadas por Zenón de Elea. Dedicado principalmente al problema del continuo y a las relaciones entre espacio, tiempo y movimiento, Zenón habría planteado un total de 40 paradojas, de las cuales se han conservado nueve o diez descripciones completas.
El grupo más difundido se conoce como «paradojas del movimiento», que se dedica al problema de la imposibilidad del mismo y está integrado por las siguientes: Aquiles y la tortuga, su paralogismo más famoso según el cual un corredor veloz no podría nunca alcanzar a un corredor lento si el primero daba al segundo una ventaja.
Según la leyenda, Aquiles, héroe de la Guerra de Troya, era
invulnerable, debido a que su madre, para hacerle invencible lo llevó a la
laguna Estigia, morada de Medusa, y lo sumergió en sus aguas sujeto por el
talón. Como su talón fue lo único que no se mojó, éste era su único punto
débil... el Talón de Aquiles.
Famoso por sus grandes cualidades físicas, Aquiles fue elegido por Zenón
de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) como protagonista de la famosa Paradoja (cuyo enunciado hemos
adaptado para facilitar la solución):
Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr
los 100 m. en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces
menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una
ventaja de 100 m. a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m., la
tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha
desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha
recorrido 0'1 m. Y así indefinidamente.
Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos
para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia
infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el
desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Es evidente que esta paradoja, bajo una
apariencia de razonamiento correcto, esconde algún fallo... todos sabemos que
Aquiles debe alcanzar a la tortuga. Pero se tardó 24 siglos en desvelar por
completo, gracias a la Teoría de Límites, cuál era el fallo: la suposición de
que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un
tiempo infinito no es correcta.
Lo aclararemos estudiando como
sucesiones las distancias recorridas, la ventaja de la tortuga y los tiempos
empleados:
|
Posición de
Aquiles (m.)
|
Posición de
la tortuga (m.)
|
Ventaja
de la
tortuga
(m.)
|
Tiempo empleado
(seg.)
|
|
|
Salida
1ª etapa
2ª etapa
3ª etapa
4ª etapa
...
Límites
|
0
100
100 + 10 = 110
100 + 10 + 1 = 111
100 + 10 + 1 + 0,1 = 111,1
...
111,111...
|
100
100 + 10 = 110
100 + 10 + 1 = 111
100 + 10 + 1 + 0,1 = 111,1
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 = 111,11
...
111,111...
|
100
10
1
0,1
0,01
...
0
|
0
10
10 + 1 = 11
10 + 1 + 0,1 = 11,1
10 + 1 + 0,1 + 0,01 = 11,11
...
11,111...
|
En consecuencia: Aquiles alcanza a la tortuga a los 111,111... m de
carrera y emplea en ello 11,111... segundos (números decimales periódicos
puros).
