Calculo Diferencial e Integral 5D Vespertino

AZAEL LEÓN CASTILLO N°21 5"D"T/V

Paradojas de Zenón

Aquiles y la tortuga

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías ideadas por Zenón de Elea. Dedicado principalmente al problema del continuo y a las relaciones entre espacio, tiempo y movimiento, Zenón habría planteado — según señala Proclo — un total de 40 paradojas, de las cuales se han conservado nueve o diez descripciones completas 

El grupo más difundido se conoce como «paradojas del movimiento», que se dedica al problema de la imposibilidad del mismo y está integrado por las siguientes: Aquiles y la tortuga, su paralogismo más famoso según el cual un corredor veloz no podría nunca alcanzar a un corredor lento si el primero daba al segundo una ventaja; la paradoja de la dicotomía; la paradoja de la flecha y la paradoja del estadio. Otras, que se agrupan como «paradojas de la pluralidad», encaran específicamente el carácter contradictorio de las ideas de pluralidad y continuidad: el argumento de la densidad, el argumento del tamaño finito y el argumento de la división completa. Además hay otras aún menos difundidas y descritas de manera más contradictoria o imprecisa como la paradoja del grano de mijo.

Aquiles y la tortuga

Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

Aunque parezca lógico, es una paradoja porque la situación planteada contradice cualquier experiencia cotidiana: todo el mundo sabe que un corredor veloz alcanzará a uno lento aunque le dé ventaja.

Si supusiéramos (para simplificar) que Aquiles es solo diez veces más veloz que la tortuga y que la ventaja otorgada a esta última es de 10 metros, entonces, según argumenta Zenón, cuando Aquiles haya recorrido estos primeros 10 metros iniciales la tortuga ya estará más lejos (estará un metro más allá, es decir habrá recorrido 11 metros) y cuando Aquiles haya recorrido este nuevo metro para alcanzarla, la tortuga estará nuevamente más lejos (10 centímetros más). Aquiles continúa pero al llegar allí, la tortuga estará otro centímetro más lejos (es decir en los 11 metros y 11 centímetros) así sucesivamente.

Desde el punto de vista matemático, el concepto que subyace a la paradoja es el de serie, más precisamente, la existencia de las series convergentes. Lo que aplica a la situación que plantea la paradoja es que la suma de infinitos términos puede ser finita. Si se suman los segmentos recorridos por Aquiles se obtiene una serie geométrica convergente:

Hubo que esperar hasta el siglo diecisiete, cuando el matemático escocés James Gregory (1638-1675) estudió por primera vez y de manera sistemática la herramienta  necesaria para terminar con el dilema de Zenón: las series convergentes, sumas que a pesar de tener un número infinito de términos, dan como resultado un número finito. Por ejemplo, la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +..., puede hacerse, y da exactamente 1. Los recorridos parciales de Aquiles y de la tortuga en el problema de  Zenón constituyen, precisamente, series convergentes. Si sumáramos los infinitos tramos (los de Aquiles: 5 kilómetros + 1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8 metros...) y los correspondientes de la tortuga (1 kilómetro + 200 metros + 40 metros  + 8 metros + 1,60 metros +...) obtendríamos, para Aquiles 6,25 kilómetros, y para la  pobre tortuga 1,25 kilómetros. Como Aquiles le había dado 5 kilómetros de ventaja, al  recorrer uno 6,25 y la otra 1,25 kilómetros, coinciden en el mismo punto. Gracias a las  series convergentes, la famosa paradoja de Zenón quedó aclarada y Aquiles alcanzó a  la tortuga de una buena vez. Lo cual era justo, después de perseguirla durante más de  dos mil años.